Intro probability theory

Terminologie de base, espaces d'échantillonnage et événements

La théorie des probabilités a son propre ensemble de définitions, de symboles et de notations qui fournissent un moyen pratique d'exprimer ce que vous voulez faire.

Définition:

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience ou un processus pour lequel le résultat ne peut pas être prédit avec certitude.

Exemple

Exemples d'expériences aléatoires:

  • Lancer une pièce 10 fois
  • Numéros gagnants pour le Lotto 649
  • Nombre de nids-de-poule que ma voiture frappe en allant au travail

    • Définition:

    Espace d'échantillonnage

    Un espace d'échantillonnage, $S$, est l'ensemble de tous les résultats possibles pour une expérience aléatoire.

    Définition:

    Événement

    Un événement, $E$, est un sous-ensemble de l'espace d'échantillonnage. Nous disons que $E$ s'est produit si le résultat observé, $x$, est un élément de $E$ (c.-à-d. $x\in E$)

    Exemple

    Lancer un dé une fois $\qquad \Rightarrow \quad S=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \rbrace$

    Solution

    Voici quelques événements possibles.

  • $E = \lbrace 1, 4, 6\rbrace$
  • $E = \lbrace 5 \rbrace $
  • $E = \lbrace \text{pas } 5\rbrace$
  • $E = \lbrace\text{pair} \rbrace$

    • Puisque les événements sont des sous-ensembles de l'espace d'échantillonnage, nous pouvons utiliser des opérations ensemblistes pour décrire les événements.

    Une revue des opérations ensemblistes

  • Union $$ \begin{array}{lcc} E_1 \cup E_2 & \quad \Rightarrow \quad & E_1 \text{ se produit}, E_2\text{ se produit, ou les deux se produisent} \\ E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n &\quad \Rightarrow \quad & \geq 1 \text{ des événements}, E_1,\dots, E_n \text{ se produit} \end{array}$$
    • Graphiquement, l'union de deux ensembles est la région ombrée dans le diagramme de Venn ci-dessous. L'union de deux ensembles, $A$ et $B$, est notée $A\cup B$. L'union de deux ensembles est l'ensemble des éléments qui sont dans $A$, dans $B$, ou dans les deux $A$ et $B$.

    AB A ∪ B
  • Intersection $$ \begin{array}{lcc} E_1 \cap E_2 & \quad \Rightarrow \quad & E_1 \text{ se produit et } E_2\text{ se produit} \\ E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n &\quad \Rightarrow \quad & \text{ tous les événements}, E_1,\dots, E_n \text{ se produisent} \end{array}$$
    • Graphiquement, l'intersection de deux ensembles est la région ombrée dans le diagramme de Venn ci-dessous. L'intersection de deux ensembles, $A$ et $B$, est notée $A\cap B$. L'intersection de deux ensembles est l'ensemble des éléments qui sont à la fois dans $A$ et $B$.

    ABA ∩ B
  • Complément $$ \begin{array}{lcc} E^{\prime} & \quad \Rightarrow \quad & E \text{ ne se produit pas}\end{array}$$
    • Graphiquement, le complément d'un ensemble est la région ombrée dans le diagramme de Venn ci-dessous. Le complément d'un ensemble, $A$, est noté $A^{\prime}$ ou $A^{c}$. Le complément d'un ensemble est l'ensemble des éléments qui ne sont pas dans $A$.

    AA'

    Règle de De Morgan

    La règle de De Morgan stipule que le complément de l'union de deux événements ou plus est égal à l'intersection des compléments des deux (ou plus) événements. De même, le complément de l'intersection de deux événements (ou plus) est égal à l'union des compléments des deux (ou plus) événements.
      1. $(E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n)^{\prime} \quad \Rightarrow\quad $ Aucun des événements, $E_1, E_2, \dots, E_n$ ne se produit, $$ (E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n)^{\prime}=E_1^{\prime}\cap E_2^{\prime}\cap \cdots \cap E_n^{\prime} $$


      2. $(E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n)^{\prime} \quad \Rightarrow\quad $ $\geq 1$ des événements, $E_1, E_2, \dots, E_n$ ne se produit pas, $$(E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n)^{\prime}=E_1^{\prime}\cup E_2^{\prime}\cup \cdots \cup E_n^{\prime}$$

    Événements mutuellement exclusifs

    Deux événements sont mutuellement exclusifs s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

  • Théorie des ensembles: les ensembles n'ont aucun élément en commun (c.-à-d. ils sont mutuellement disjoints)
  • Probabilité: les événements n'ont aucun résultat en commun.

    • Définition:

    Événements mutuellement exclusifs

    Les événements, $E_1, E_2, \dots, E_n$ sont mutuellement exclusifs si $$E_i\cap E_j =\emptyset \qquad \forall i\neq j$$

    Exemple 1

    Quatre étudiants en droit doivent décider s'ils doivent retourner sur les lieux d'un crime pour récupérer le corps d'un homme qu'ils viennent de tuer. Ils conviennent de lancer une pièce, et si elle tombe sur la face, alors ils y retourneraient.

    Calcul de la probabilité

    La probabilité est utilisée pour quantifier la probabilité qu'un événement spécifique se produise.
    Il existe trois approches pour calculer la probabilité:

  • Probabilité classique $$\frac{\text{nombre de résultats favorables à } A }{ \text{Nombre total de résultats de l'expérience}}$$
  • Fréquence relative $$\frac{\text{nombre de fois que } A \text{ se produit} }{ \text{Nombre de fois où l'expérience a été réalisée}}$$
  • Probabilité subjective = degré de croyance qu'un événement se produira

    • Loi des grands nombres

    La loi des grands nombres stipule que lorsque le nombre d'essais augmente, la probabilité expérimentale d'un événement se rapproche de la probabilité théorique de l'événement.

    Axiomes de probabilité de Kolmogorov

    Les axiomes de probabilité de Kolmogorov sont trois règles qui régissent la probabilité d'un événement.
    • La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1, inclusivement. $$0 \leq P(A) \leq 1$$
    • La probabilité de l'espace échantillon est de 1. $$P(S) = 1$$
    • La probabilité de l'union de deux événements mutuellement exclusifs est la somme de leurs probabilités individuelles. $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

    Techniques de dénombrement

    Énumérer tous les résultats dans un espace d'échantillonnage est très inefficace; en particulier si le nombre de résultats est très grand. Par conséquent, nous utilisons des techniques de dénombrement pour rationaliser le processus.

    Définition:

    Principe de base du dénombrement

    Supposons qu'une expérience se compose de $k-$étapes. Si la $1^{ère}$ étape peut donner lieu à $n_1$ résultats, la $2^{ème}$ peut donner lieu à $n_2$ résultats, $\dots$, la $k^{ème}-$étape peut donner lieu à $n_k$ résultats, alors le $$\begin{array}{ll} \text{Nombre total de résultats} & = n_1\times n_2\times \cdots \times n_k\\ & = \prod_{i=1}^k n_i \end{array}$$

    Exemple 1

    L'ancienne première dame des Philippines, Imelda Marcos, est connue pour son extravagance et son amour des chaussures. Elle a déjà dépensé 2000 $ pour du chewing-gum et a forcé un avion à revenir à Rome parce qu'elle avait oublié d'acheter du fromage. Lorsque son mari est tombé du pouvoir, au milieu d'accusations de corruption, le public a finalement eu un aperçu du style de vie somptueux mené par les Marcos. Dans son placard se trouvaient 15 manteaux de vison, 1000 sacs à main, 580 robes et 1060 paires de chaussures.
    Combien de tenues différentes Imelda a-t-elle? Supposons qu'une tenue se compose d'une robe, d'un sac à main, d'une paire de chaussures et d'un manteau de vison.

    Le nombre total de tenues qu'Imelda Marcos peut assembler est de 15 x 1000 x 580 x 1060 = 9 222 000 000

    Solution

    Exemple 2

    FIJI Water a déjà lancé une campagne publicitaire affirmant que «L'étiquette dit Fiji car elle n'est pas embouteillée à Cleveland». La ville de Cleveland a pris ombrage et a répondu en testant à la fois l'eau FIJI et leur propre eau du robinet. Ils ont trouvé 6,3 microgrammes d'arsenic par litre d'eau FIJI. L'eau du robinet de Cleveland n'en avait pas.
    De nouveaux modèles pour un réservoir de traitement de l'eau ont proposé trois formes possibles, quatre tailles possibles, trois emplacements pour les vannes d'entrée et quatre emplacements pour les vannes de sortie. Combien de configurations de produits différentes sont possibles?

    Nombre total de configurations $= 3 \times 4 \times 3 \times 4 = 144$

    Solution

    Exemple 3

    Steve Wozniak, le co-fondateur d'Apple, a été la première personne à posséder le numéro de téléphone 888-888-8888. Mais il s'est avéré impossible de l'utiliser, car il recevait plus de 100 mauvais numéros par jour; principalement de bébés jouant avec le téléphone.

    Le principe de base du dénombrement peut être étendu à des situations plus complexes. Par exemple, lorsque nous devons sélectionner quelques éléments parmi un groupe d'éléments distincts, avec ordre, sans ordre ou avec répétition.
    Très souvent, nous sommes confrontés au problème de sélectionner quelques éléments parmi un groupe d'éléments distincts.

    Exemple

    • Un département doit sélectionner trois personnes parmi 20 pour siéger au comité. De combien de façons cela peut-il être fait?
    • Un étudiant doit choisir deux questions sur quatre lors d'un examen final. Combien de sélections l'étudiant peut-il faire?

    Définition:

    Combinaisons

    Une combinaison est une sélection d'objets parmi un groupe d'objets, où l'ordre de sélection n'a pas d'importance.

    Formule:

    Combinaisons

    Le nombre de façons de sélectionner $r$ objets distincts parmi $n$ objets est donné par: $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

    Exemple 4

    Un département doit sélectionner trois personnes parmi 20 pour siéger au comité. De combien de façons cela peut-il être fait?

    Le nombre de façons de sélectionner 3 personnes parmi 20 est donné par: $$\binom{20}{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!} = 1140$$

    Solution

    Exemple 5

    Un étudiant doit choisir deux questions sur quatre lors d'un examen final. Combien de sélections l'étudiant peut-il faire?

    Le nombre de façons de sélectionner 2 questions parmi 4 est donné par: $$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$$

    Solution

    Exemple 6

    Un conseil étudiant se compose de 12 membres. Un sous-comité de 4 membres doit être choisi pour organiser un événement scolaire.

    Exemple 7

    Une loterie exige que les joueurs sélectionnent 6 numéros parmi un ensemble de 49 numéros.

    Exemple 8

    Un jeu de cartes standard de 52 cartes est mélangé, et les joueurs reçoivent des mains de 5 cartes.

    Le concept de permutations est très similaire à celui des combinaisons; mais avec une différence majeure et très importante: l'ordre de la sélection est important.

    Définition:

    Permutation

    Une permutation est un arrangement de résultats dans lequel l'ordre est important.

    Formule:

    Permutation de $n$ objets distincts

    Le nombre de permutations de $n$ éléments distincts est $$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdots 3\cdot 2\cdot 1$$

    Formule:

    Permutation de $n$ objets distincts pris $r$ à la fois

    $$P^n_k=\frac{n!}{(n-k)!}$$

    Exemple 9

    À l'hippodrome, un pari exacta est un pari où le parieur choisit le cheval qui finira en première et en deuxième place. Un trifecta est un pari où le parieur choisit les chevaux qui finissent en première, deuxième et troisième place. Si 12 chevaux entrent dans une course,

    Exemple 10

    Une société de cartes de crédit exige que l'utilisateur configure un code PIN à quatre chiffres à des fins de sécurité.

    Dans les exemples précédents, nous avons traité des permutations d'objets distincts. Cependant, il existe des situations où les objets ne sont pas distincts, et nous devons en tenir compte dans nos calculs.

    Définition:

    Permutation d'objets similaires

    Une permutation d'objets similaires est une sélection d'objets parmi un groupe d'objets, où certains des objets sont identiques.

    Formule:

    Permutation d'objets similaires

    $$\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$ où $n_1, n_2, \dots, n_k$ sont le nombre de fois que chaque objet est répété, et $n$ est le nombre total d'objets.

    Exemple 11

    De combien de façons différentes les lettres du mot 'MISSISSIPPI' peuvent-elles être arrangées?

    Le nombre de façons dont les lettres du mot 'MISSISSIPPI' peuvent être arrangées est: $$\frac{11!}{4!4!2!1!}=34,650$$

    Solution

    Exemple 12

    Si toutes les lettres du mot MINIMUM doivent être utilisées, combien d'arrangements différents y a-t-il?

    Le nombre de façons dont les lettres du mot 'MINIMUM' peuvent être arrangées est: $$\frac{7!}{3!2!}=420$$

    Solution

    Exemple 13

    Si toutes les dispositions sont également probables, quelle est la probabilité qu'une disposition sélectionnée au hasard du mot, MINIMUM commence par MMM?

    $E=$ l'arrangement commence par MMM. $n(E)=\frac{3!}{3!}\cdot \frac{4!}{2!}=12$ $$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{12}{420}=\frac{1}{35}$

    Solution

    Exemple 14

    Cinq billes rouges et quatre billes bleues sont disposées en ligne. Quelle est la probabilité que les deux billes d'extrémité soient bleues?

    $B=$ les deux billes d'extrémité sont bleues. $n(S)=\frac{9!}{5!4!}=126$
    $n(B)=\frac{2!}{2!}\cdot\frac{7!}{5!2!}=21$ $$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{21}{126} $$

    Solution

    Exemple 15

    The Price is Right est un jeu télévisé qui offre aux candidats la possibilité de gagner des prix tels que des voitures, des voyages, des appareils ménagers et de l'argent (banal par les normes d'aujourd'hui). En 1956, un candidat au spectacle a remporté un piano à queue, et par plaisanterie, les producteurs ont pensé qu'il serait amusant de lui offrir un éléphant vivant comme prix bonus; le vrai prix était de 4000 $. La blague a mal tourné et l'émission a été contrainte de faire venir un éléphant du Kenya.
    Considérez le mot ELEPHANT.

    Règle d'addition

    Les événements conjoints sont générés par des opérations d'ensemble de base agissant sur des événements individuels. Ces opérations sont: union, intersection et complément.

  • Union $A \cup B \quad \Rightarrow \quad \text{ Règle d'addition}$
  • Intersection $A \cap B \quad \Rightarrow \quad \text{ Règle de multiplication}$
  • Complément $A^{\prime}\quad \Rightarrow \quad \text{ Règle de complément}$

    • Formule:

    Règle d'addition

    Supposons que $A$ et $B$ sont des événements. Alors $$\begin{align} P(A\cup B) &= P(A) + P(B) \qquad;\qquad A, B \qquad \text{ sont mutuellement exclusifs}\\ P(A\cup B) &= P(A) + P(B) - P(A\cap B) \end{align}$$

    Autres résultats utiles

  • $P(A\cap B)=P(B\cap A)$
  • $P(A\cup B)=P(B\cup A)$
  • $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{\prime})$
  • $P(B)=P(A\cap B)+P(A^{\prime}\cap B)$
  • $P(A^{\prime}\cap B^{\prime})=1-P(A\cup B)$

    • Exemple 1

    Supposons que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.3$, et $P(A\cap B) = 0.1$. Trouvez $P(A\cup B)$.

    $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$

    Solution

    Exemple 2

    Dans une enquête de 120 étudiants, 70 étudiants aimaient le café, 50 étudiants aimaient le thé, et 90 étudiants aimaient à la fois le café et le thé. Trouvez la probabilité qu'un étudiant aime le café et le thé.

    $P(C\cup T) = P(C) + P(T) - P(C\cap T) = \frac{70}{120} + \frac{50}{120} - \frac{90}{120} = \frac{30}{120} =\frac{1}{4} $

    Solution

    Exemple 3

    Dans une enquête de 120 étudiants, 70 étudiants aimaient le café, 50 étudiants aimaient le thé, et 90 étudiants aimaient à la fois le café et le thé. Quelle est la probabilité qu'un étudiant sélectionné au hasard aime seulement le café?

    Soit $CO$ = étudiant aime seulement le café. Alors $P(CO) = P(C) - P(C\cap T) = \frac{70}{120}-\frac{30}{120} = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}$

    Solution

    Exemple 4

    Dans un groupe de 200 étudiants en sciences, 80 d'entre eux suivent un cours de mathématiques facultatif, et 50 d'entre eux suivent un cours de physique facultatif. En raison de contraintes d'emploi du temps, les étudiants ne peuvent pas suivre à la fois des cours de mathématiques et de physique facultatifs. Quelle est la probabilité qu'un étudiant sélectionné au hasard suive soit un cours de mathématiques facultatif, soit un cours de physique facultatif?

    Soit $M$ = étudiant suit un cours de mathématiques facultatif, $P$ = étudiant suit un cours de physique facultatif. Alors $P(M\cup P) = P(M) + P(P) = \frac{80}{200} + \frac{50}{200} = \frac{130}{200} = \frac{13}{20}$

    Solution

    Exemple 5

    Dans un groupe de 200 étudiants en sciences, 80 d'entre eux suivent un cours de mathématiques facultatif, et 50 d'entre eux suivent un cours de physique facultatif. En raison de contraintes d'emploi du temps, les étudiants ne peuvent pas suivre à la fois des cours de mathématiques et de physique facultatifs. Quelle est la probabilité qu'un étudiant sélectionné au hasard ne suive aucun des cours de mathématiques ou de physique facultatifs?

    Soit $M$ = étudiant suit un cours de mathématiques facultatif, $P$ = étudiant suit un cours de physique facultatif. Alors $P(M^{\prime}\cap P^{\prime}) = 1 - P(M\cup P) = 1 - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$

    Solution

    Exemple 6

    La couleur la plus souvent associée aux Néerlandais est l'orange. Lors d'un différend diplomatique entre la Turquie et les Pays-Bas, des manifestants à Ankara ont symbol iquement poignardé des oranges dans la rue. Ils ont également brûlé par erreur des drapeaux français pensant qu'ils étaient néerlandais (car les deux sont rouges, blancs et bleus). Dans une enquête auprès des manifestants, $15\%$ ont déclaré qu'ils n'avaient ni poignardé une orange, ni brûlé un drapeau, $73\%$ ont admis avoir poignardé une orange, et $49\%$ ont déclaré avoir brûlé un drapeau. Quelle est la probabilité qu'un manifestant sélectionné au hasard qui a répondu à l'enquête,\

    Exemple 7

    Kanye North et Kanye South (mais pas Kanye West) sont des districts électoraux au Botswana. Le nombre d'électeurs inscrits en 2002 et leur sexe sont indiqués dans le tableau ci-dessous. $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Femme} & \text{Homme} \\ \hline \text{Kanye North} & 8,705 & 9795 \\ \text{Kanye South} & 8,430 & 9,570 \\ \hline \end{array} $$ Si un électeur est sélectionné au hasard, trouvez la probabilité que l'

    Exemple 8

    En 2011, des scientifiques aux États-Unis ont utilisé $\$660,000$ de fonds de recherche fédéraux pour examiner si la prière à distance pouvait guérir le SIDA, $\$406,000$ pour voir si l'injection de café infusé dans les intestins de quelqu'un aiderait avec le cancer du pancréas, et $\$1.25$ million pour examiner si les massages rendaient les personnes atteintes d'un cancer avancé se sentir mieux. Les prières à distance et les lavements au café n'ont pas fonctionné, mais les massages l'ont fait.
    Les oncologues d'un hôpital local étudient l'efficacité de deux traitements médicaux contre les massages, dans la lutte contre le cancer du pancréas. Le tableau ci-dessous montre le nombre de patients dans chaque groupe, et le nombre de personnes qui ont montré une réponse complète (positive) après 24 semaines de traitement. $$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \textbf{Réponse Complète} & \textbf{Total}\\ \hline \textbf{Faisceau de protons} & 16 & 21\\ \textbf{Irinotécan nanoliposomal} & 6 & 19\\ \textbf{Massages} & 0 & 20\\ \hline \end{array}$$ Soit $PR$ l'événement que le patient a été traité avec le faisceau de protons, et $CR$ l'événement que le patient a montré une réponse complète.

    Exemple 9

    Selon SplashData, 123456, était le mot de passe le plus fréquemment utilisé pour 2021, suivi de 123456789 en deuxième place. La société estime qu'environ $10\%$ de tous les comptes peuvent être connectés avec l'un des mots de passe de leur top 25 - ce qui facilite l'accès des pirates informatiques et le vol d'informations privées. D'autres mots de passe pas si secrets qui figurent régulièrement sur la liste sont: 111111, letmein, et trustno1.

    Un système informatique utilise des mots de passe contenant exactement huit caractères, et chaque caractère est l'une des 26 lettres minuscules (a-z) ou 26 lettres majuscules (A-Z) ou 10 entiers (0-9). ,br/.
    Supposons que tous les mots de passe soient également probables. Soit $OL$ et $OI$ les événements qui consistent en des mots de passe contenant uniquement des lettres ou uniquement des entiers, respectivement. Déterminez les probabilités suivantes:

    Probabilité conditionnelle

    Question: Supposons que nous sachions qu'un certain événement, $B$, s'est produit. Comment cette information affecte-t-elle la probabilité d'un autre événement, $A$?
    Réponse: La question est abordée en utilisant des probabilités conditionnelles.
    Exemple
    Lancer un dé équitable une fois.
  • Quelle est la probabilité d'observer un $2$? $\quad \quad P(\text{ deux })=\frac{1}{6}$}
  • Quelle est la probabilité d'observer un $2$ si le nombre de points est pair? $\quad \quad P(\text{ deux si nombre pair de points })=\frac{1}{3}$

    • Probabilité conditionnelle

    Parfois, la probabilité d'un événement doit être réévaluée à mesure que des informations supplémentaires deviennent disponibles.

    Une probabilité conditionnelle mesure la probabilité d'un événement donné que (par hypothèse, preuve ou information partielle) un autre événement s'est produit.

    Lorsque vous conditionnez un événement, vous entrez dans l'univers où cet événement a eu lieu. Mathématiquement, si vous conditionnez sur $B$, alors $B$ devient votre nouvel espace d'échantillonnage.

    Définition:

    Probabilité conditionnelle

    La probabilité conditionnelle d'un événement $A$ sachant que l'événement $B$ a été observé est $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\qquad;\qquad P(B)>0$$ De même, la probabilité conditionnelle d'un événement $B$ sachant que l'événement $A$ a été observé est $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\qquad;\qquad P(A)>0$$

    Remarque

    L'ordre des événements est important. $$\begin{align}P(A|B) &\neq P(B|A)\\ \because \frac{P(A\cap B)}{P(B)}&\neq \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\end{align}$$

    Exemple 1

    Aux États-Unis, il existe une tactique juridique connue sous le nom de ``Chewbacca Defense`` dont le but est de confondre délibérément le jury plutôt que de réfuter factuellement le cas de l'autre partie. Le terme a été inventé dans un épisode de ``South Park`` qui a satirisé l'argument de clôture du procès d'O.J Simpson et est maintenant largement utilisé.

    Alors que le procès d'O.J. touchait à sa fin, trois cents personnes ont été interrogées pour savoir si elles pensaient que Simpson était coupable du crime pour lequel il était jugé. Voici les réponses ventilées par sexe: $$ \begin{array}{lccc} & \textbf{Coupable} & \textbf{Non Coupable} & \textbf{Indécis}\\ \hline \textbf{Femme} & $90$ & $15$ & $10$\\ \textbf{Homme} & $45$ & $110$ & $30$ \\ \end{array}$$

    Si une personne est choisie au hasard parmi le groupe de personnes interrogées, quelle est la probabilité

    Exemple 2

    World of Warcraft est un jeu de rôle en ligne massivement multijoueur. À son apogée, il comptait 12 millions d'abonnés - la plupart d'entre eux de jeunes adultes qui passaient d'innombrables heures à jouer au jeu au lieu d'étudier. Un père en Chine était tellement contrarié par l'obsession de son fils pour le jeu qu'il a engagé des assassins virtuels pour tuer l'avatar de son fils. Le tableau ci-dessous montre la répartition par âge d'un échantillon aléatoire de joueurs de War Craft de Chine.

    $$ \begin{array}{lccc} \textbf{Âge} (années) & \textbf{Homme}$ & $\textbf{Femme} \\ \hline $ 11 - 17 $ & $96 $ & $88$ \\ $ 18 - 24 $ & $204$ & $198$ \\ $ 25 - 31 $ & $206$ & $117$ \\ $ 32 - 38 $ & $54 $ & $12$ \\ \hline \end{array} $$

    Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans ce groupe

    Exemple 3

    Un système informatique utilise des mots de passe contenant exactement huit caractères, et chaque caractère est l'une des 26 lettres minuscules (a-z) ou 26 lettres majuscules (A-Z) ou 10 entiers (0-9). Soit $S$ l'ensemble de tous les mots de passe possibles.

    Supposons que tous les mots de passe de $S$ soient également probables. Déterminez la probabilité pour chacun des éléments suivants:

    Exemple 4

    Deux dés sont lancés.

    Exemple 5

    $76\%$ des vols AC partent à l'heure (dans les $5$ minutes du calendrier). $68\%$ des vols AC arrivent à l'heure. $89\%$ des vols qui partent à l'heure arrivent à l'heure.

    La règle de multiplication, la règle de la probabilité totale et le théorème de Bayes

    La probabilité de l'intersection de deux (ou plusieurs) événements est souvent nécessaire. Rappelons que: $$\begin{align}P(A|B) & =\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \quad;\quad P(B)>0 \\ &\\ \text{et}\qquad P(B|A) & =\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \quad;\quad P(A)>0 \end{align}$$

    La règle de multiplication

    La définition de la probabilité conditionnelle peut être réécrite pour générer la règle de multiplication pour deux ou plusieurs événements.

    Théorème:

    La règle de multiplication

    Supposons que $A$ et $B$ sont des événements dans $S$, alors $$\begin{align} P(A\cap B) & = P(A|B)\cdot P(B) \\ & = P(B|A)\cdot P(A) \end{align}$$

    En général, si $E_1, E_2, E_3, \dots E_n$ sont $n$ événements dans $S$ alors $$\begin{align} &P(E_1\cap E_2\cap E_3\cap \cdots \cap E_n)\\ &=P(E_n|E_{n-1}\cap \cdots \cap E_1)\cdots P(E_3|E_2\cap E_1)\cdot P(E_2|E_1)\cdot P(E_1)\\ &=P(E_1)\cdot P(E_2|E_1)\cdot P(E_3|E_2\cap E_1)\cdot \cdots \cdot P(E_n|E_{n-1}\cap \cdots \cap E_1) \end{align}$$

    Ce qui précède peut être exprimé de manière plus compacte comme $$P\left(E_n\cap E_{n-1}\cap \cdots \cap E_1\right) = \prod _{k=1}^{n} P\left(E_k \bigg| \bigcap_{j=1}^{k-1} E_j \right) $$

    La règle de la probabilité totale

    Parfois, la probabilité d'un événement est donnée sous plusieurs conditions. Avec suffisamment de probabilités conditionnelles, la probabilité de l'événement peut être récupérée.

    Théorème:

    La règle de la probabilité totale

    Supposons que $A$ et $B$ sont des événements disjoints qui forment une partition dans $S$. Alors $$\begin{align} P(B) & = P(A\cap B)+P(A^{\prime} \cap B)\\ & =P(B|A)\cdot P(A) + P(B|A^{\prime})\cdot P(A^{\prime})\end{align}$$

    Plus généralement, si $S=E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_k$ avec $E_i\cap E_j=\emptyset \quad \forall i\neq j$ tel que $P(E_i)>0\quad \forall i$. Alors pour tout événement $B$\ $$\begin{align} P(B)& = P(B\cap E_1)+ P(B\cap E_1)+\cdots +P(B\cap E_k)\\ &=P(B|E_1)\cdot P(E_1)+P(B|E_2)\cdot P(E_2)+\cdots+P(B|E_k)\cdot P(E_k) \end{align}$$

    Exemple 1

    Un sac contient 5 bonbons rouges et 3 bonbons bleus. Si deux bonbons sont tirés sans remplacement, quelle est la probabilité que les deux bonbons soient rouges?

    Soit $R_1$ l'événement que le premier bonbon est rouge et $R_2$ l'événement que le deuxième bonbon est rouge. Alors $P(R_1)=\frac{5}{8}$ et $P(R_2|R_1)=\frac{4}{7}$. Ainsi, $$\begin{align*} P(R_1\cap R_2) & = P(R_2|R_1)\cdot P(R_1) \\ & = \frac{4}{7}\cdot \frac{5}{8} \\ & = \frac{5}{14} \end{align*}$$

    Solution

    Exemple 2

    Un étudiant doit réussir à la fois un examen écrit et un examen oral pour obtenir une bourse d'études. La probabilité de réussir l'examen écrit est de $0.8$, et la probabilité de réussir l'examen oral sachant que l'examen écrit a été réussi est de $0.7$. Quelle est la probabilité de se qualifier pour la bourse d'études?

    Soit $W$ l'événement que l'examen écrit est réussi et $O$ l'événement que l'examen oral est réussi. Alors $P(W)=0.8$ et $P(O|W)=0.7$. Ainsi, $$\begin{align*} P(W\cap O) & = P(O|W)\cdot P(W) \\ & = 0.7\cdot 0.8 \\ & = 0.56 \end{align*}$$

    Solution

    Exemple 3

    Un dé équilibré à six faces est lancé deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir un 4 au premier lancer et un nombre supérieur à 3 au deuxième lancer?

    Soit $R4$ l'événement qu'un 4 est lancé au premier lancer et $>3$ l'événement qu'un nombre supérieur à 3 est lancé au deuxième lancer. Alors $P(R4)=\frac{1}{6}$ et $P(>3)=\frac{3}{6}$. Ainsi, $$\begin{align*} P(R4\cap >3) & = P(R4 \cap >3)=P(R4)\cdot P(>3) \\ & = \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{12} \end{align*}$$

    Solution

    Exemple 4

    Une entreprise possède trois usines produisant un produit: l'usine A produit $40\%$ du total, l'usine B produit $35\%$, et l'usine C produit $25\%$. La probabilité qu'un produit défectueux soit de $5\%$ pour l'usine A, de $4\%$ pour l'usine B, et de $6\%$ pour l'usine C. Quelle est la probabilité qu'un produit sélectionné au hasard soit défectueux?

    Soit $A$, $B$, et $C$ les événements que le produit est produit par les usines A, B, et C, respectivement. Soit $D$ l'événement que le produit est défectueux. Alors $P(A)=0.4$, $P(B)=0.35$, $P(C)=0.25$, $P(D|A)=0.05$, $P(D|B)=0.04$, et $P(D|C)=0.06$. Ainsi, $$\begin{align*} P(D) & = P(D\cap A)+P(D\cap B)+P(D\cap C) \\ & = P(D|A)\cdot P(A)+P(D|B)\cdot P(B)+P(D|C)\cdot P(C) \\ & = 0.05\cdot 0.4+0.04\cdot 0.35+0.06\cdot 0.25 \\ & = 0.049 \end{align*}$$

    Solution

    Exemple 5

    Un étudiant se prépare pour un test. Les jours où il étudie, la probabilité de réussir est de 0.9; les jours où il n'étudie pas, la probabilité de réussir est de 0.5. Si l'étudiant étudie 70% du temps, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test?

    Soit $S$ l'événement que l'étudiant étudie et $P$ l'événement que l'étudiant réussisse le test. Alors $P(S)=0.7$, $P(P|S)=0.9$, et $P(P|S^{\prime})=0.5$. Ainsi, $$\begin{align*} P(P) & = P(P\cap S)+P(P\cap S^{\prime}) \\ & = P(P|S)\cdot P(S)+P(P|S^{\prime})\cdot P(S^{\prime}) \\ & = 0.9\cdot 0.7+0.5\cdot 0.3 \\ & = 0.78 \end{align*}$$

    Solution

    Exemple 6

    IBM's Watson, est capable de répondre à des questions posées en langage naturel. Les chercheurs lui ont accidentellement appris à jurer après avoir téléchargé l'Urban Dictionary dans son corpus d'entraînement; sans savoir que les définitions étaient truffées de jurons et d'insinuations risquées. Avant d'apparaître sur Jeopardy! Le vocabulaire de Watson a été désinfecté et un filtre intelligent a été ajouté pour éviter tout dérapage à la télévision.

    Dans le processus de formation de Watson, les chercheurs ont généré des questions aléatoires auxquelles l'ordinateur devait répondre dans un laps de temps fixe. La probabilité que la première question soit correctement répondue est de $0.8$ Chaque fois qu'une question est correctement répondue, la question suivante est plus difficile, et la probabilité de l'obtenir correctement diminue de $0.1$. Chaque fois qu'une question est incorrectement répondue, le niveau de difficulté de la question suivante reste le même.

    Le théorème de Bayes

    Le théorème de Bayes est l'une des techniques les plus omniprésentes déployées dans les algorithmes d'intelligence artificielle et d'apprentissage automatique.
    Très souvent, nous connaissons la condition dans une direction, disons $P(A|B)$, mais nous voulons connaître la condition dans l'autre direction. Le théorème de Bayes fournit un moyen de renverser l'ordre du conditionnel.

    Théorème:

    Le théorème de Bayes

    Si $S=E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n$ avec $E_i\cap E_j=\emptyset \quad \forall i\neq j$ (c'est-à-dire que nous avons une partition disjointe de l'espace d'échantillonnage) alors $$\begin{align} P(E_i\,|\,B) &=\frac{P(E_i\cap B)}{P(B)}=\frac{P(E_i\cap B)}{\displaystyle\sum^n_{k=1} P(E_k\cap B)}\end{align}$$

    Exemple 7

    Au début de la Première Guerre mondiale, un cessez-le-feu officieux a été déclaré le long du front occidental. Dans les semaines précédant Noël, les soldats allemands et britanniques ont saisi l'occasion d'échanger des cadeaux et de jouer au football les uns avec les autres. Du côté allemand, les troupes ont affiché un panneau qui disait ``Gott mit uns`` (``Dieu avec nous``). En réponse, les Britanniques ont affiché un panneau impertinent qui disait ``Nous avons des mitaines``

    Dans un magasin local, $85\%$ des mitaines sont fabriquées en Allemagne tandis que le reste est fabriqué en Angleterre. Supposons que $4\%$ des mitaines britanniques ont une imperfection, tandis que le même pourcentage peut être dit des mitaines allemandes. Quelle est la probabilité qu'une paire de mitaines sélectionnée au hasard

    Exemple 8

    La défense Shaggy est une stratégie juridique dans laquelle le défendeur nie catégoriquement sa culpabilité même s'il existe des preuves accablantes contre lui - en particulier sous la forme d'un enregistrement vidéo. Les caractéristiques de la défense impliquent un déni vigoureux que c'était lui qui a commis l'acte. Le terme est dérivé du single de Shaggy de 2000 ``It Wasn't Me`` - une chanson qui décrit un homme demandant à son ami quoi faire après que sa petite amie l'ait surpris avec une autre femme. Le conseil de l'ami: nie simplement que c'était lui.

    L'avocat, Saul Goodman, utilise la défense Shaggy dans $30\%$ des cas qui lui sont assignés. Le reste du temps, il utilise la défense Chewbacca. Chaque fois qu'il utilise la défense Shaggy, cela se traduit par un verdict de non-culpabilité $40\%$ du temps, et un verdict de culpabilité le reste du temps. S'il devait utiliser la défense Chewbacca, alors la probabilité d'obtenir un verdict de non-culpabilité pour son client est de $80\%$ et un verdict de culpabilité le reste du temps.

    Exemple 9

    Depuis des années, la Corée du Nord et la Corée du Sud se bombardent mutuellement de ballons remplis de tracts de propagande et d'articles ménagers. Les activistes sud-coréens ont envoyé des ballons remplis de gâteaux apéritifs au chocolat et de tracts anti-Kim, tandis que le Nord a renvoyé des pamphlets de propagande. C'est un pas en avant pour la Corée du Nord. Jusqu'en 2017, ils envoyaient des ballons remplis de mégots de cigarettes et de papier toilette usagé.

    La Corée du Sud commande tous ses ballons à une seule entreprise qui les fabrique en trois tailles: petit, moyen et grand. Dans une boîte, $40\%$ des ballons sont petits, $25\%$ sont moyens, et le reste est grand. Il a également été découvert que $1\%$ des petits, $2\%$ des moyens, et $5\%$ des grands ballons de la boîte étaient fabriqués trop minces et sujets à éclater prématurément.

    Indépendance

    Deux événements, $A$ et $B$, sont indépendants si le fait que $A$ se produise n'affecte pas la probabilité que $B$ se produise.

    Définition:

    Événements indépendants

    Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

    De manière équivalente, $$P(A|B)=P(A) \qquad \text{ou} \qquad P(B|A)=P(B) $$

    Remarque

    $$P(A)=P(A|B)\quad; \quad P(B)=P(B|A)$$ ni $A$ n'est informatif de $B$, ni $B$ n'est informatif de $A$

    Remarque

    Les événements disjoints $A\cap B=\emptyset$ ne sont pas du tout indépendants:AB

    Les événements mutuellement exclusifs (ou disjoints) ne sont pas indépendants car l'occurrence de l'un des événements affecte directement la probabilité de l'autre événement. Explorons cela avec des définitions et des raisonnements.

    Événements Mutuellement Exclusifs: Deux événements $A$ et $B$ sont mutuellement exclusifs s'ils ne peuvent pas se produire en même temps: $$P(A \cap B)=0$$

    Événements Indépendants: Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si l'occurrence de l'un des événements n'affecte pas la probabilité de l'autre événement: $$P(A \cap B)=P(A)P(B)$$

    La seule façon pour $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=0$ est si au moins l'un des événements a une probabilité de 0, ce qui signifie qu'il ne peut pas se produire du tout. Par conséquent, si deux événements sont mutuellement exclusifs, ils ne peuvent pas être indépendants.

    Exemple 1

    Tirez une carte, observez, et remettez-la. Mélangez à nouveau, tirez une autre carte, et observez. Quelle est la probabilité que nous observions deux as? Quelle est la probabilité que nous observions deux as si la première carte n'est pas remplacée avant de tirer la deuxième carte?

    Soit $A_1=$ la première carte est un as, $A_2=$ la deuxième carte est un as. Alors avec remplacement: $$P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)=\frac{4}{52}\cdot \frac{4}{52}$$ Sans remplacement: $$P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)=\frac{4}{52}\cdot \frac{3}{51}=\frac{1}{221}$$

    Solution

    Théorème:

    Indépendance des événements complémentaires

    Si $A$ et $B$ sont des événements indépendants, alors $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ le sont aussi.

    Définition:

    Indépendance des $n-$événements

    $n-$événements sont indépendants si $$P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)$$ par exemple $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$

    Remarque

    Dans le cas de deux événements ou plus, l'indépendance par paires n'implique pas l'indépendance mutuelle. Par exemple, si $A$ et $B$ sont indépendants, et $B$ et $C$ sont indépendants, cela n'implique pas que $A$ et $C$ sont indépendants.
    Lancez quatre pièces et considérez les événements:
    $A=$ la première pièce est face
    $B=$ la troisième pièce est face
    $C=$ il y a un nombre égal de faces et de piles
    Alors, $n(S)=2^4=16, P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{2},$ et $P(C)=\frac{6}{16}$ $$\begin{align} P(A\cap B)&=P(A)P(B)=\frac{1}{4}\\ P(A\cap C)&=P(A)P(C)=\frac{1}{8}\\ P(B\cap C)&=P(B)P(C)=\frac{1}{8}\\ P(A\cap B\cap C)&=P(A)P(B)P(C)=\frac{1}{16} \end{align}$$ Puisque $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$, les événements sont indépendants par paires. Cependant, $P(A\cap B\cap C)\neq P(A)P(B)P(C)$, donc les événements ne sont pas mutuellement indépendants.

    Exemple 5

    En juin 1982, le mont Galunggung en Indonésie a éclaté, projetant un immense nuage de cendres volcaniques dans l'atmosphère. Le vol 9 de British Airways, alors en route de Londres à Auckland, a accidentellement volé dedans. Après avoir perdu ses quatre moteurs, le pilote s'est adressé calmement aux passagers dans ce qui ne pouvait être décrit que comme un chef-d'œuvre de litote avec ``Mesdames et Messieurs, c'est votre capitaine qui vous parle. Nous avons un petit problème. Les quatre moteurs se sont arrêtés. Nous faisons de notre mieux pour les remettre en marche. Je suppose que vous n'êtes pas trop en détresse.''

    La probabilité qu'un moteur, obstrué par des cendres volcaniques, redémarre est de $0.97$. En supposant que les quatre moteurs du vol 9 fonctionnent indépendamment les uns des autres, déterminez les éléments suivants.

    Exemple 5

    Les pèlerins en route vers le sanctuaire catholique de Lourdes, en France, ont été déçus après que leur système de navigation GPS les ait dirigés par erreur vers le village moins célèbre de Lourde, au pied des Pyrénées. Malheureusement pour eux, le hameau était: à 57 miles de leur cible initiale, n'a pas de sanctuaire de la Vierge Marie, ni un seul hôtel où passer la nuit.

    À Lourde, les voitures approchant du carrefour principal doivent aller dans l'une des trois directions: à gauche, à droite ou tout droit. En tant qu'ingénieur de train, vous observez que des véhicules approchant du nord, $45\%$ tournent à gauche, $20\%$ tournent à droite, et $35\%$ vont tout droit. En supposant que chaque conducteur agit indépendamment des autres, quelle est la probabilité que des trois conducteurs suivants.

    Exercices

    Question 1

    Soit un espace d'échantillonnage $S$ avec $n(S)=100$, et les événements suivants:

    $A:n(A)=40$
    $B: n(B)=30$
    $A \cap B: n(A\cap B)=10$

    Question 2

    Une boîte contient 5 jetons rouges, 3 jaunes et 2 verts. Un jeton est tiré au hasard de la boîte. Quelle est la probabilité que le jeton soit:

    Question 3

    Une usine produit trois types de dispositifs : Type A, Type B et Type C. Le tableau ci-dessous montre le nombre total de dispositifs produits et le nombre de pannes pour chaque type le mois dernier: $$ \begin{array}{|l|l|l|}\hline \text { Type de dispositif } & \text { Total produit } & \text { Pannes } \\ \hline \text { Type A } & 500 & 25 \\ \hline \text { Type B } & 300 & 15 \\ \hline ext { Type C } & 200 & 10 \\ \hline \end{array} $$

    Question 4

    Un dé équilibré à six faces est lancé deux fois. Soit:

    Événement $A$ : La somme des deux lancers est supérieure à 8
    Événement $B$ : Le premier lancer est un nombre pair.

    Question 5

    Une boîte contient trois sacs. Chaque sac contient des billes colorées:

    Sac 1: 3 rouges, 2 bleues
    Sac 2: 4 rouges, 1 bleue
    Sac 3: 2 rouges, 3 bleues.

    Un sac est choisi au hasard, puis une balle est tirée au hasard du sac sélectionné.

    Question 6

    Un système de recommandation pour une plateforme de commerce électronique catégorise les utilisateurs en trois groupes en fonction de leurs préférences:

    Passionnés de technologie (40\% des utilisateurs), qui cliquent sur un article recommandé $60 \%$ du temps. Amoureux de la mode ( $30 \%$ des utilisateurs), qui cliquent sur un article recommandé $70 \%$ du temps. Acheteurs occasionnels ( $30 \%$ des utilisateurs), qui cliquent sur un article recommandé $40 \%$ du temps.

    Question 7

    Un véhicule autonome utilise trois capteurs pour détecter les obstacles:

    Radar détecte les obstacles $80 \%$ du temps (taux de vrais positifs) et détecte à tort les obstacles $10 \%$ du temps (taux de faux positifs)
    Lidar détecte les obstacles $90 \%$ du temps et détecte à tort les obstacles $5 \%$ du temps.
    La caméra détecte les obstacles $85 \%$ du temps et détecte à tort les obstacles $8 \%$ du temps. Les capteurs fonctionnent de manière indépendante.

    Question 8

    Un filtre anti-spam est formé pour classer les e-mails comme spam ou non spam. Les statistiques suivantes sont observées:

    $40 \%$ des e-mails sont du spam.
    Le filtre identifie $90 \%$ des e-mails de spam correctement (taux de vrais positifs).
    Le filtre classe à tort $5 \%$ des e-mails non spam comme spam (taux de faux positifs).

    Question 9

    Dans une réserve naturelle, des caméras sont placées pour détecter trois espèces animales: Cerf (D), Renard (F) et Lapin (R). Les observations en une journée montrent les probabilités suivantes:

    Un cerf est détecté avec une probabilité de $0.6$
    Un renard est détecté avec une probabilité de $0.4$
    Un lapin est détecté avec une probabilité de $0.5$
    La détection de chaque espèce est indépendante.

    Question 10

    Un détecteur de particules identifie les particules passant à travers lui comme des particules Alpha (A), Beta (B) ou Gamma (G). Les probabilités de détection de ces particules dans un essai donné sont les suivantes:

    Détection de l'Alpha: $0.4$
    Détection de la Beta: $0.3$
    Détection du Gamma: $0.2$
    Aucune détection de particule: $0.1$

    Question 11

    Dans une réaction chimique, il existe trois voies possibles pour qu'une molécule réagisse:

    La voie A se produit avec une probabilité de $0.5$
    La voie B se produit avec une probabilité de $0.3$
    La voie C se produit avec une probabilité de $0 2$
    Les voies sont mutuellement exclusives.

    Question 12

    Un jeu de 52 cartes standard est mélangé. Vous tirez 3 cartes sans remplacement.

    Question 13

    Vous lancez quatre dés équilibrés à six faces.

    Question 14

    Un groupe de 10 étudiants doit être divisé en deux équipes de 5 chacune. Le groupe comprend 6 garçons et 4 filles.

    Question 15

    Un sac contient 6 jouets rouges, 4 jouets bleus et 5 jouets verts. Vous tirez 3 jouets sans remplacement.